spektralsætningen

Spektralsætningen er et matematisk resultat, som er udviklet i en vekselvirkning mellem matematik og fysik for at generalisere sætninger fra lineær algebra til uendelig store matricer. Herefter kan teorien beskrive fænomener, som er sammensat af en uendelighed af enkle bidrag. Et eksempel er lydbølger skabt af en svingende streng, hvor lyden er sammensat af en grundtone og overtoner. Matematisk beskrives fænomener af denne art i operatorteorien.

Spektralsætningen for de selvadjungerede operatorer (og mere generelt de normale; se operatorteori) fik sin endelige form af J. von Neumann i 1930. En normal operator virker på et Hilbertrum, og sætningen viser, at vektorerne i dette rum kan opfattes som funktioner på operatorens spektrum, og at virkningen af operatoren på en vektor består i multiplikation med en funktion. Et konkret eksempel er Fouriertransformationen (se Fourieranalyse), som viser, at differentiationsoperatorer virker som multiplikationsoperatorer.