ring - matematisk begreb

Ring, matematisk begreb, der opstod i slutningen af 1800-t. ved studier inden for algebraisk geometri og algebraisk talteori udført af bl.a. R. Dedekind og D. Hilbert; navnet skyldes sidstnævnte (1897). De hele tal Z er et eksempel på en ring. Generelt er en ring en algebraisk strukturR udstyret med en addition og en multiplikation, der sender elementer r og s fra R over i hhv. summenr+s og produktetrs i R, og som opfylder de regler, der kendes fra regning med tal: R er med + en kommutativ gruppe, mens multiplikationen er associativ og distributiv (dvs. for alle r, s og t i R gælder (rs)t = r(st), hhv. r(s+t) = rs+rt og (r+s)t = rt+st). Det neutrale element 0 ved additionen kaldes nul-elementet. Oftest kræves, at R har et såkaldt et-element 1, der er neutralt ved multiplikationen (dvs. 1r = r og r1 = r for alle r). I en kommutativ ring er multiplikationen kommutativ (dvs. rs = sr for alle r og s). For n ≥ 1 udgør n × n-matricerne en ring, der ikke er kommutativ for n > 1, se matrix.

Ringen R kaldes et integritetsområde, når den er kommutativ, 1 ≠ 0, og rs ≠ 0 for r ≠ 0 og s ≠ 0. Ethvert legeme er et integritetsområde, mens de hele tal Z udgør et integritetsområde, som ikke er et legeme. De ringe, der optræder i algebraisk talteori, er oftest Noetherske integritetsområder (jf. Noethersk ring); en del af dem er Dedekind-ringe, og nogle endda hovedidealområder, se ringteori. Ringene i algebraisk geometri er ofte Noetherske som en følge af Hilberts basissætning. En ring, der beskriver fx en kurves forløb i nærheden af et punkt, er en såkaldt lokal ring: Den har et ideal (en delmængde af ringen, der er en modul), som indeholder alle andre idealer undtagen ringen selv.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig