riemannsk geometri

Riemannsk geometri er teorien for generelle geometriske rum. Riemannsk geometri omhandler grundelementerne i ikke-euklidisk geometri (se geometri) og er det matematiske grundlag for den almene relativitetsteori.

Gauss introducerede i 1827 den indre geometriske analyse af flader, hvor udgangspunktet er, at tangentvektorerne til fladen er udstyret med det længdemål, som arves fra det omgivende euklidiske rum (se differentialgeometri). Bernhard Riemann generaliserede Gauss' undersøgelse af flader til såkaldte riemannske mangfoldigheder, dvs. rum (højeredimensionale mangfoldigheder) udstyret med et konkret eller abstrakt valgt længdemål for tangentvektorerne til mangfoldigheden. Længdemålet kaldes også en metrik eller et skalarprodukt.

Metrikken fastlægger længden af enhver regulær kurve i mangfoldigheden, idet længden defineres som integralet af farten (længden af den øjeblikkelige hastighedsvektor) for en jævn bevægelse langs kurven fra endepunkt til endepunkt.

Det centrale begreb krumning defineres vha. den såkaldte Levi-Civita-konnektion, der gør differentiation på mangfoldigheden mulig. Krumningen, der er en tensor kaldet Riemann-Christoffel-krumningstensoren, spiller en afgørende rolle i studiet af den globale struktur af riemannske mangfoldigheder.