partition

Artikelstart

Partition betyder i matematik det at skrive et naturligt tal som en sum af andre, evt. med visse begrænsninger. Fx siger Goldbachs formodning, at ethvert lige tal kan skrives som en sum af to primtal.

Faktaboks

Etymologi

af latin partitio 'opdeling, inddeling', af partiri 'dele'

Partitioner uden begrænsninger på de indgående summander har en særlig interesse i talteorien. Der er syv sådanne partitioner af tallet 5: 5, 1+4, 2+3, 1+1+3, 1+2+2, 1+1+1+2, 1+1+1+1+1. Antallet af partitioner af tallet n kaldes p(n).

Denne funktion blev studeret af Leonhard Euler, der fandt en frembringende funktion for den:

\[ \prod_{m=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^m}=\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n\]

samt en rekursionsformel.

Antallet af partitioner vokser meget hurtigt med n; G.H. Hardy og Srinivasa Ramanujan fandt i 1917, at for store n er p(n)'s asymptotiske værdi

\[\frac{e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}}{4\sqrt{3}n}\]

Hans Rademacher (1892-1969) fandt i 1937 en eksakt rækkeudvikling med den asymptotiske værdi som det første led. Der blev i 1900-tallet blevet udviklet en omfattende teori for partitioner.

Antal partitioner af heltallene 1 til 15

heltal, n antal partitioner, p(n)
1 1
2 2
3 3
4 5
5 7
6 11
7 15
8 22
9 30
10 42
11 56
12 77
13 101
14 135
15 176

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig