ordnet mængde

En ordnet mængde er i matematik en mængde med en ordning, hvor det for visse par af elementer \(x,y\) er fastsat, at "\(x\) går forud for \(y\)", \(x \preceq y\). Der kræves: 1) \(x \preceq x\). 2) Når \(x \neq y\), må \(x \preceq y\) og \(y \preceq x\) ikke begge gælde. 3) Når \(x \preceq y\) og \(y\preceq z\), skal \(x \preceq z\). At \(x \neq y\) og \(x\preceq y\), skrives \(x \prec y\). Ordningen kaldes undertiden en partiel ordning. Hvis to vilkårlige elementer \(x\) og \(y\) kan sammenlignes, dvs. \(x\preceq y\) eller \(y\preceq x\), kaldes ordningen total.

Begrebet ordning dækker såvel den sædvanlige ordning af tal efter størrelse, \(\leq\), som inklusion, \(\subseteq\), for mængder (se mængdealgebra). Her er \(\leq\) total, men ikke \(\subseteq\). Divisorrelationen "\(x\) går op i \(y\)", der skrives \(x|y\), er en ordning af de naturlige tal 1,2,3, ... . Den er ikke total, fx gælder hverken \(2|3\) eller \(3|2\). Se også Hassediagram.

Behandlingen af forskelligartede tilfælde i en fælles ramme belyser strukturelle fællestræk. Fx er begrebet infimum (nedre grænse, sidste element blandt fælles forgængere) hentet fra reelle tal ordnet ved \(\leq\). For naturlige tal ordnet ved \(|\) er det største fælles divisor. For mængder ordnet ved \(\subseteq\) er \(\inf\{A,B\} = A\cap B\). Se også lattice.

Ved ordning af en gruppe kræves et samspil med regneoperationen (her skrevet +):4) Når \(x \preceq y\), skal \(x+z \preceq y+z\) og \(z+x \preceq z+y\) for ethvert \(z\). En total ordning kaldes her archimedisk, hvis Archimedes' aksiom gælder for elementer \(\succ\) det neutrale element \(o\) (de "positive" elementer), dvs. hvis der for vilkårlige \(x \succ o, y \succ o\) gælder \(n\cdot x = x+x+ \dots +x \succ y\), blot antallet \(n\) af led er stort nok. I bekræftende fald er gruppen isomorf med (dvs. strukturelt en kopi af) en undergruppe af de reelle tals additive gruppe.