ordnet mængde

Artikelstart

Ordnet mængde, i matematik en mængde med en ordning, hvor det for visse par af elementer x,y er fastsat, at "x går forud for y", xy. Der kræves:1) xx.2) Når xy, må xy og yx ikke begge gælde.3) Når xy og yz, skal xz.At xy og xy, skrives xy. Ordningen kaldes undertiden en partiel ordning. Hvis to vilkårlige elementer x og y kan sammenlignes, dvs. xy eller yx, kaldes ordningen total.

Begrebet ordning dækker såvel den sædvanlige ordning af tal efter størrelse, ≤, som inklusion, ⊆, for mængder (se mængdealgebra). Her er ≤ total, men ikke ⊆. Divisorrelationen "x går op i y", der skrives x|y, er en ordning af de naturlige tal 1,2,3, ... . Den er ikke total, fx gælder hverken 2|3 eller 3|2. Se også Hassediagram.

Behandlingen af forskelligartede tilfælde i en fælles ramme belyser strukturelle fællestræk. Fx er begrebet infimum (nedre grænse, sidste element blandt fælles forgængere) hentet fra reelle tal ordnet ved ≤. For naturlige tal ordnet ved | er det største fælles divisor. For mængder ordnet ved ⊆ er inf{A,B} = AB. Se også lattice.

Ved ordning af en gruppe kræves et samspil med regneoperationen (her skrevet +):4) Når xy, skal x+zy+z og z+xz+y for ethvert z.En total ordning kaldes her archimedisk, hvis Archimedes' aksiom gælder for elementer ≻ det neutrale element o (de "positive" elementer), dvs. hvis der for vilkårlige xo, yo gældernx = x+x+ ∙∙∙ +xy,blot antallet n af led er stort nok. I bekræftende fald er gruppen isomorf med (dvs. strukturelt en kopi af) en undergruppe af de reelle tals additive gruppe.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig