numerisk integration

.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert

Artikelstart

Numerisk integration, bestemmelse af tilnærmede værdier af bestemte integraler .

De fleste metoder til numerisk integration tilnærmer integranden f med en simplere funktion, der umiddelbart lader sig integrere. Man kan fx interpolere f med et polynomium over hele integrationsintervallet. Interpoleres med et førstegradspolynomium, får man trapezformlen, med et andengradspolynomium Simpsons formel. Ved at underinddele intervallet kan nøjagtigheden forbedres. W. Rombergs (1909-2003) metode fra 1955 er imidlertid mere effektiv: Intervallet underinddeles i lige store delintervaller, og f tilnærmes, som ved trapezformlen, med et førstegradspolynomium på hvert delinterval. Derefter halveres længden af delintervallerne (skridtlængden), og beregningen gentages. Ved at eliminere fejlen af anden grad i skridtlængden fås en fejl af kun fjerde grad, og processen kan gentages med effektiv konvergens til følge.

En anden idé, der skyldes C.F. Gauss, går ud på at tilnærme integralet med en sum α0f (x0)+∙∙∙+αn f (xn), hvor αi og xi vælges, så formlen giver det korrekte svar for polynomier af så høj grad som muligt. Den bedste løsning for intervallet [a,b] = [−1,1] er at vælge xi'erne som nulpunkter for Legendre-polynomiet af grad n+1, hvilket gør formlen eksakt for alle polynomier af grad mindre end eller lig 2n+1; for andre endelige intervaller skaleres først til [−1,1]. Idéen kan generaliseres til at tilnærme integraler af formen

, hvor w(x) er en givet vægtfunktion. I stedet for Legendre-polynomier anvendes da ortogonale polynomier mht. w.

Monte Carlo-metoder, hvor punkterne xi vælges tilfældigt, anvendes også til numerisk integration, især af integraler i flere variable.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig