Normeret vektorrum betegner i matematik et reelt eller komplekst vektorrum\(V\) udstyret med en norm \(||\cdot||\). Hvis man for alle \(x, y\) i \(V\) sætter \(d(x,y) = ||x-y||\), bliver \(d\) en metrik, og et normeret rum er dermed også et metrisk rum.

På rummet af reelle tal er den numeriske værdi en norm, og på rummet af komplekse tal er modulus en norm. På talrummet \(\mathbb{R}^n\) af \(n\)-tupler \(x = (x_1, ..., x_n)\) af reelle tal er \(||x|| = \left(x_1^2+...+x_n^2\right)^{1/2}\) en særlig vigtig norm. Den kaldes den euklidiske. I tre dimensioner svarer det til vort sædvanlige afstandsbegreb. Den analoge norm på rummet af kvadratisk integrable funktioner \(f \ : \ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) er \[||f|| = \left(\int \left(f(x)\right)^2 dx\right)^{1/2}.\] Hvis \(V\) har en endelig dimension, er alle normer på \(V\) ækvivalente, dvs. for vilkårlige normer \(||\cdot||_1\) og \(||\cdot||_2\) findes der positive konstanter \(a\) og \(b\), således at \(a||x||_2 \leq ||x||_1 \leq b||x||_2\) for alle \(x\) i \(V\).

Specielt vigtige klasser af normerede vektorrum er Banachrum og Hilbertrum. Teorien for normerede vektorrum spiller en stor rolle i matematisk analyse, især inden for funktionalanalysen.

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig