målteori

Målteori er en abstrakt matematisk teori, som bl.a. præciserer de intuitive begreber areal og massefordeling i begrebet mål. Ved et mål i en mængde \(X\) forstås en afbildning \(\mu\), der til visse delmængder \(E\) af \(X\) knytter et tal \(\mu (E)\) — kaldet \(E\)s mål — på en sådan måde, at målet af en mængde opdelt i mindre dele er summen af delenes mål. C. Jordan betragtede kun opdelinger i endeligt mange dele, men E. Borel påpegede betydningen af at inddrage uendelige opdelinger. Siden midten af 1900-t. forlanger man, at et mål er defineret på en sigma-algebra, dvs. et ikke-tomt system \(S\) af delmængder af \(X\) med følgende egenskaber: 1) hvis en mængde tilhører \(S\), gør dens komplementærmængde det også, og 2) tællelige foreningsmængder af mængder fra \(S\) ligger igen i \(S\). Et mål er da en afbildning \(\mu\): \(S \rightarrow [0, \infty]\) med egenskaberne \(\mu (\emptyset) = 0\) og \[\mu(E) = \sum^\infty_{n=1} \mu (E_n),\]

når \(E\) er foreningsmængde af tælleligt mange parvis disjunkte mængder \(E_1, E_2, ...\) fra \(S\). Målets totale masse \(\mu(X)\) kan være endelig eller uendelig.

Et vigtigt eksempel er \(X = \mathbb{R}^n\), \(S\) er systemet af Borel-mængder i \(\mathbb{R}^n\), og \(\mu(E)\) er \(E\)s \(n\)-dimensionale Lebesguemål, altså længde, areal, volumen for hhv. \(n=1,2,3\).

I målteori studeres generelle egenskaber ved mål. Indførelsen af integralet med hensyn til et mål spiller en central rolle, se integralteori. Ved studiet af rum af integrable funktioner optræder begrebet \(\mu\)-næsten overalt. At fx en målelig funktion er differentiabel \(\mu\)-næsten overalt betyder, at mængden af punkter \(x\), hvori den ikke er differentiabel, har mål nul. I problemstillinger i målteori er det ofte tilstrækkeligt, at egenskaber gælder \(\mu\)-næsten overalt.