Metrisk rum er en meget generel matematisk struktur, der består af en mængde udstyret med en metrik (et afstandsmål). Begrebet metrik har udspring i den matematiske analyse og studeres i mængdetopologi, men indgår nu i næsten alle matematiske discipliner.

På en grundmængde \(S\) er en metrik en funktion, som til ethvert par af elementer \(x\) og \(y\) i \(S\) knytter et ikke-negativt tal \(d(x,y)\), der benævnes afstanden fra \(x\) til \(y\), så følgende krav er opfyldt:

  1. \(d(x,y)=0\) netop når \(x=y\);
  2. \(d(x,y)=d(y,x)\);
  3. \(d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)\) for alle \(z\) i \(S\).

Disse simple krav fastlægger på forbløffende vis en slagkraftig teori for metriske rum. De grundlæggende definitioner skyldes M. Fréchet i 1906.

Uligheden i krav 3 til en metrik \[d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y) \quad \text{for alle} \quad x,y,z \in S\] er kendt som trekantsuligheden i metriske rum.

Den euklidiske metrik i de reelle talrum

Det \(n\)-dimensionale reelle talrum \(\mathbb{R}^n\), som består af alle ordnede talsæt af \(n\) reelle tal \(x=(x_1, x_2, \dots, x_n)\), kan udstyres med den euklidiske metrik

\[d(x, y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n{(x_i-y_i)^2}} .\]

For \(n=2, 3\) kan \(\mathbb{R}^n\) med denne metrik identificeres med henholdsvis den euklidiske plan og det euklidiske rum udstyret med et sædvanligt retvinklet koordinatsystem.

Læs mere i Den Store Danske

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig