Lineær algebra er en gren af matematisk teori, der bl.a. omhandler vektorrum, lineære afbildninger, kvadratiske former og matrixregning (se matrix). Teorien har sin oprindelse i studiet af lineære ligningssystemer, men fandt først en afrundet form i sidste halvdel af 1800-t. efter arbejder af H.G. Grassmann, A. Cayley og J.J. Sylvester. Grassmanns vage idéer i bogen Die Ausdehnungslehre fra 1844 blev udviklet og præciseret af G. Peano i 1888. Cayley definerede \(n\)-dimensionale vektorer som \(n\)-tupler \((x_1,...,x_n)\) af reelle tal, og han indførte matrixregning i 1858. Den abstrakte definition af en vektor som et element i et vektorrum blev først almindeligt accepteret i 1930'erne, da funktionalanalysens udvikling viste fordelene ved en koordinatfri fremstilling af teorien for vektorrum. Matrixregning blev anvendt i Heisenbergs formulering af kvantemekanikken i 1920'erne.

Mange problemstillinger i naturvidenskab og økonomi kan behandles ved lineær algebra, og derfor indgår emnet i dag i al indledende matematikundervisning på universitetsniveau.

Det grundlæggende begreb i lineær algebra er et vektorrum \(V\), fx talrummet \(\mathbb{R}^n\) eller vektorrummet af alle reelle funktioner på et interval \(I\). I lineær algebra studeres især vektorrum af endelig dimension, mens uendeligdimensionale vektorrum, fx rum af funktioner, især studeres i funktionalanalysen. En lineær afbildning \(T\) fra et vektorrum \(V\) med en basis \(\boldsymbol{v}_1,...,\boldsymbol{v}_n\) til et vektorrum \(W\) med en basis \(\boldsymbol{w}_1,...,\boldsymbol{w}_m\) kan fuldstændigt beskrives ved en \(m\times n\)-matrix \(A=(a_{ij})\) givet ved \[T(\boldsymbol{v}_j) = \sum^m_{i=1} a_{ij}\boldsymbol{w}_i, \ j = 1,...,n.\] Ved denne formalisme svarer addition hhv. sammensætning af lineære afbildninger til addition hhv. multiplikation af matricer, og bestemmelse af egenværdier reduceres til at bestemme nulpunkterne i et polynomium.

Ved basisskift ændres den til \(T\) hørende matrix. Det er vigtigt at kunne vælge baser, så matricen får en særlig simpel form. Spektralsætningen er et resultat af denne type.

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig