konstruktion

.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert

Konstruktion, i matematik at konstruere (tegne) geometriske figurer med givne hjælpemidler. I elementær geometri foretrækker man ofte, at konstruktioner udføres med passer og lineal alene. Et sådant krav går muligvis tilbage til Oinopides fra Chios (ca. 450 f.Kr.) og overholdes i Euklids Elementer fra ca. 300 f.Kr.; det er netop indholdet af Euklids tre første postulater (se geometri). I Elementer vises, hvordan man med passer og lineal kan oprejse og nedfælde en vinkelret, halvere en vinkel, flytte en vinkel samt konstruere det gyldne snit og den regulære tre-, fir- og femkant.

Faktaboks

etymologi:
Ordet konstruktion kommer af latin constructio 'opbygning', af construere 'bygge op'.

Ved løsning af en del andre konstruktionsproblemer måtte grækerne ty til andre konstruktionsmetoder; det gælder bl.a. konstruktionen af den regulære syvkant og de tre klassiske problemer: cirklens kvadratur, vinklens tredeling og terningens fordobling (det deliske problem).

I 1801 viste Gauss, at den regulære n-kant kan konstrueres med passer og lineal, netop når n har formen 2kp1p2∙∙∙pi, hvor p1, p2,..., pi er forskellige primtal af formen . Det betyder, at syvkanten ikke kan konstrueres med passer og lineal, mens 17-kanten kan. De klassiske problemers uløselighed med passer og lineal blev også vist i 1800-t. Beviserne benytter algebra, idet det vises, at de linjestykker, der kan konstrueres med passer og lineal ud fra givne linjestykker, har længder, der kan udtrykkes ved længderne af de givne vha. de rationale operationer +, −, ∙ og / samt kvadratrodsuddragning. Heraf følger, at de længder, der kan konstrueres ud fra et linjestykke med længden 1 (de såkaldte konstruerbare tal), er algebraiske tal. Da fx π ikke er algebraisk, viser dette umuligheden af at kvadrere cirklen med passer og lineal. Ikke alle algebraiske tal er konstruerbare. Således er ikke konstruerbart, hvilket medfører, at terningen ikke kan fordobles med passer og lineal.

Georg Mohr viste i 1672, at man kan konstruere det samme med passer alene, og i 1673, at man kan konstruere det samme med lineal og en passer med fast åbning, som man kan med passer og lineal.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig