komplekse tal

Komplekse tal, tal fremkommet ved udvidelse af det reelle talområde, bl.a. for at give mening til kvadratrødder af negative tal. Anskueliggøres de reelle tal som punkter på en linje R (den reelle akse), svarer de komplekse tal til punkterne i en plan C gennem R (den komplekse plan). Afstanden r fra 0 til et komplekst tal z kaldes modulus eller den numeriske værdi af z og betegnes |z|, og for z ≠ 0 betegnes vinklen θ fra R til halvlinjen fra 0 gennem z med arg z (argumentet af z).

Summen z1+z2 af to komplekse tal fås ved vektoraddition, mens produktet z1z2 for z1,z2 ≠ 0 er givet ved |z1z2| = |z1| |z2|, arg(z1z2) = arg z1 + arg z2. Alle sædvanlige, rent algebraiske regneregler viser sig at gælde for komplekse tal, men man må give afkald på en fornuftig ordning.

Ligningen z2 = −1 har åbenbart to løsninger i den komplekse plan. Den ene, frit valgt, betegnes i, den imaginære enhed. Tallene iy med reelt y kaldes rent imaginære. Et komplekst tal kan tydeligvis på netop én måde skrives z = x+iy, hvor x og y er reelle; de kaldes real- hhv. imaginærdelen af z og kan tolkes som koordinater til z i den komplekse plan. Tallet = xiy kaldes det konjugerede til z = x+iy. Erstattes hvert tal i en sædvanlig udregning med sit konjugerede, bliver resultatet konjugeret. Der gælder endvidere z = |z|2.

Inden for de komplekse tal har ethvert n'te-grads-polynomium netop n rødder (algebraens fundamentalsætning). For eksponentialfunktionens udvidelse til komplekse tal gælder z = re, når r = |z| og θ = arg z. Se også kompleks analyse.

Historie

.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert

Behovet for komplekse tal viste sig allerede i 1500-t., hvor negative tal dukkede op under kvadratrodstegn i Cardanos formel (se algebraisk ligning). Længe regnede man rent formelt med udtryk x+y, skønt var hyllet i mystik. Den geometriske fremstilling af de komplekse tal blev givet af Caspar Wessel 1797, men vandt først almindelig accept gennem et notat af C.F. Gauss 1831. Betegnelsen i i stedet for blev indført af L. Euler 1777. Han kunne så sammenknytte matematikkens vigtigste konstanter med ligningen e+1 = 0.

Eksempler på regning med komplekse tal

Regning med komplekse tal på formen x+iy foregår, ganske som man plejer med toleddede størrelser, blot skal man huske, at i2 = -1. Nogle eksempler:

(1+2i)+(5+3i)=6+5i

(2+3i)·(5+4i)=10+8i+15i+12i2=10+8i+15i+12(-1)= -2+23i.

Division udføres lettest ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede: 1+3i/2+i=(1+3i)(2-i)/(2+i)(2-i)= 2-i+6i-3 i2/4-i2= 2-i+6i+3/4+1=5+5i/5 =1+i.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig