isoperimetriske problemer

Isoperimetriske problemer, matematiske problemer med rod i geometrien, hvor to plane figurer siges at være isoperimetriske, hvis de har samme omkreds (perimeter).

Faktaboks

etymologi:
Ordet isoperimetriske kommer af iso- og afledning af perimeter.

Det klassiske isoperimetriske problem går ud på at vise, at cirklen har et større areal end enhver anden plan figur med samme omkreds. Spørgsmålet er en typisk problemstilling i variationsregning. Den græske matematiker Zenodor har beskæftiget sig med maksimalegenskaben ved cirklen i et værk fra ca. 150 f.Kr., men også Archimedes bør nævnes. Det lå imidlertid uden for deres muligheder at føre et korrekt matematisk bevis for, at problemet overhovedet har en løsning, og de erkendte heller ikke denne side af problemet.

Dette blev først endeligt erkendt som et afgørende punkt og fuldstændig bevist af K. Weierstrass omkring 1870, da han udviklede nogle banebrydende teknikker i den matematiske analyse. Omkring 1840 havde J. Steiner (1796-1863) allerede fremlagt flere geometriske beviser for, at cirklen omslutter det maksimale areal blandt figurer med samme omkreds, under forudsætning af at en sådan maksimal figur findes. Den umiddelbare generalisation til højere dimensioner er som forventet. Eksempelvis er kuglen dén rumlige figur, der omslutter det største volumen med et foreskrevet overfladeareal. Dette blev bevist af H.A. Schwarz (1843-1921) i en meget vanskelig artikel fra 1884.

Betegnelsen isoperimetrisk problem bruges i dag om en række typer af problemer, hvor en størrelse (fx et integral i nogle parametre) skal maksimeres under fastholdelse af en anden størrelse.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig