homomorfi

Homomorfi er en speciel afbildning, der benyttes i algebraiske grene af matematikken til at føre egenskaber ved afbildningens definitionsmængde over til dens billedmængde. Fx kaldes en afbildning \(f :G \rightarrow G′\) fra én gruppe \(G\) til en anden \(G'\) en homomorfi, når \(f (a∗b) = f (a)∗′f (b)\) (hvor \(∗\) og \(∗′\) er kompositionsreglerne i \(G\) og \(G′\)) for alle \(a\) og \(b\) i \(G\). I så fald fører \(f\) det neutrale element i \(G\) over i det tilsvarende i \(G′\) og det inverse element \(a^{1}\) i \(G\) over i det inverse element \(f (a)^{-1}\) i \(G′\); endvidere er billedmængden \(f (G)\) en undergruppe af \(G′\), og hvis \(G\) er kommutativ, da er \(f (G)\) det samme. Betragtes eksponentialafbildningen \(a\rightarrow e^a\) og kvadreringsafbildningen \(a\rightarrow a^2\) fra de reelle tals gruppe (\(\mathbb{R},+\)) til de positive reelle tals multiplikative gruppe (\(\mathbb{R}_+,\cdot\)), da er den første en homomorfi (da \(e^{a+b} = e^a\cdot e^b\) for alle \(a\) og \(b\)), hvorimod den anden ikke er det (da fx \((1+2)^2 = 9\), mens \(1^2\cdot 2^2 = 4\)). En endomorfi er en homomorfi fra \(G\) til \(G\); den kaldes en automorfi, hvis den er bijektiv (jf. afbildning).

Andre algebraiske strukturer end grupper har også homomorfier; fx er en homomorfi \(f :V\rightarrow V′\) mellem vektorrum blot en (additiv) gruppehomomorfi, der harmonerer med multiplikation med skalarer: \(f (rv) = rf (v)\) for alle \(v\) i \(V\) og \(r\) i grundlegemet; den kaldes ofte en lineær afbildning.