homologisk algebra

Homologisk algebra er en af matematikkens nyere grene, der blev udviklet omkring 1950 med udgangspunkt i algebraisk topologi. Homologisk algebra giver en samlet behandling af dele af matematiske emneområder, der tidligere var blevet opfattet som forskellige og derfor behandlet hver for sig, og kan anvendes til løsning af hidtil uløste problemer. Den første samlede fremstilling af teorien udkom i 1956 og skyldes H. Cartan og den amerikanske matematiker Samuel Eilenberg (1913-98).

Der fokuseres oftest på en given ring \(R\). Til moduler \(M\) og \(N\) over \(R\) konstrueres to grupper for hvert helt tal \(n\geq 0\): en homologigruppe \(\text{Tor}^R_n(M,N)\) (jf. homologi) og en kohomologigruppe \(\text{Ext}^n_R(M,N)\). Disse grupper karakteriserer egenskaber ved modulerne og ringen. Således er Dedekind-ringene, der optræder i talteori, netop de integritetsområder \(R\), der har \(\text{Ext}^2_R(M,N) = 0\) for alle \(M\) og \(N\). Der findes talrige anvendelser af homologisk algebra inden for ringteorien. For specielle valg af ringen \(R\) fås (ko)homologiteorier inden for flere matematiske emneområder, bl.a. gruppeteori og teorien for Lie-algebraer.