grænseværdi - matematisk begreb

Grænseværdi, fundamentalt matematisk begreb. Man siger, at en talfølge x1,x2,...,xn,... har grænseværdien x, hvis tallet xn er vilkårligt tæt på x, blot tallets nummer n er tilstrækkelig højt. Dette skrives sædvanligvis limn→∞xn = x under brug af det latinske ord limes 'grænse'; således er limn→∞1/n = 0. Tilsvarende siger man, at en reel funktion y = f (x) af en reel variabel har grænseværdien b for x gående mod a, limxaf (x) = b, hvis funktionsværdien f (x) er vilkårligt tæt på b, blot den variable x er tilstrækkelig tæt på a; for eksempel er limx0sinx/x = 1.

Begrebet grænseværdi er centralt for forståelse af kontinuitet og differentiabilitet og dermed for en stringent fremstilling af den matematiske analyse. En sådan blev først givet i sidste halvdel af 1800-t. af bl.a. K. Weierstrass, der formulerede definitionen på grænseværdi på følgende måde: For hvert ε > 0 findes δ > 0, så der for |x−a| < δ gælder |f (x)−b| < ε.

Et mere alment grænseværdibegreb er udviklet i begyndelsen af 1900-t. inden for rammerne af metriske rum og mængdetopologi.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig