funktion

Funktion, matematisk grundbegreb, som i dag er synonymt med begrebet afbildning. En funktion eller en afbildning f : AB er en regel eller forskrift, der til ethvert element x i definitionsmængden A bestemmer et entydigt element y i mængden B; man udtrykker dette ved at skrive y = f (x). Når B er mængden af reelle eller komplekse tal, bruger man oftere ordet funktion end afbildning, og man taler om en reel eller kompleks funktion på A. Hvis A er en delmængde af Rn eller Cn, taler man om en funktion af n reelle eller komplekse variable. Fx er arealet af et rektangel en funktion af to reelle variable, nemlig produktet af længde og bredde. Når A er et funktionsrum, kalder man ofte f : A↷R en funktional, og hvis både A og B er funktionsrum, kaldes f en operator.

Faktaboks

etymologi:
Ordet funktion kommer af latin functio 'udførelse, forretning', af fungi 'udføre, fuldende'

Funktionsbegrebets historie

Grækeren Ptolemaios' kordetavle kan opfattes som en tabel over længden af korden som funktion af buen i en cirkel. Begrebet funktion blev dog først indført i slutningen af 1600-t., bl.a. af Leibniz, som betegnelse for en størrelse, der varierer fra punkt til punkt på en kurve. Ordet opnåede en central status i Eulers hovedværk Introductio in analysin infinitorum fra 1748, hvor han definerede: "En funktion af en variabel størrelse er et analytisk udtryk, som på en eller anden måde er sammensat af denne variable størrelse og af tal eller konstante størrelser". For Euler var et analytisk udtryk en formel, der involverer de elementære regneoperationer +,−,∙,/ samt roduddragning. Euler tillod også regning med uendelige summer og produkter, og de elementære funktioner kunne indgå i regneudtrykkene. Det moderne funktionsbegreb, hvor forskriften ikke behøver at være et regneudtryk, skyldes bl.a. Dirichlet, som i sin afhandling om Fourierrækkers konvergens fra 1829 betragtede funktionen, der har værdien 1, når den variable er rational, og ellers værdien 0.

Funktionsteori

giver en systematisk behandling af klasser af funktioner ud fra forskellige overordnede betragtninger, se fx reel og kompleks analyse; desuden studeres konkrete funktioner.

En funktion y = f (x) kaldes implicit given, hvis den er løsning til en ligning F (x,y) = 0, hvor F er en funktion af to variable, altså hvis F (x,f (x)) = 0. Implicit givne funktioner, hvor F er et polynomium, kaldes algebraiske. Fx er \(y=\sqrt{1-x^{2}}\) en algebraisk funktion, som er løsning til x2+y2−1 = 0. Som reel funktion er den kun defineret på intervallet [−1,1], men som kompleks funktion kan den defineres for alle komplekse tal, idet der for hvert x må foretages et valg af en af de to komplekse kvadratrødder, medmindre man opererer med funktioner med flere værdier i hvert punkt; det gør man ofte i kompleks analyse, selvom det ikke harmonerer med det moderne funktionsbegreb i streng forstand. En matematisk tilfredsstillende formulering opnås ved at betragte funktionen på en Riemannflade. I eksemplet var det muligt at angive funktionen eksplicit ved løsningsformlen for en ligning af anden grad, men noget tilsvarende er ikke muligt for vilkårlige algebraiske funktioner, se algebraisk ligning.

Funktioner, der ikke er algebraiske, kaldes transcendente.

De algebraiske funktioner, logaritme- og eksponentialfunktionerne, de trigonometriske og de cirkulære funktioner samt funktioner, der kan udtrykkes ved algebraiske operationer, roduddragning og sammensætning af de nævnte funktioner, kaldes elementære. Således er de hyperbolske funktioner og area-funktionerne elementære.

Ud over de elementære funktioner findes en række vigtige funktioner, som spiller en stor rolle i matematikkens anvendelser. De udmærker sig ofte ved at være løsninger til vigtige differentialligninger og kaldes under et for specielle funktioner. Blandt de vigtigste specielle funktioner kan nævnes Bessel-funktioner, elliptiske funktioner, gammafunktionen og hypergeometriske funktioner.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig