fordelingsfunktion

Fordelingsfunktion, inden for sandsynlighedsregning den funktion af det reelle tal x, som angiver sandsynligheden for, at en stokastisk variabel V antager en værdi, som er mindre end eller lig x; fordelingsfunktionen for V betegnes FV(x) = P(Vx). Angiver V fx antallet af opkald til en telefoncentral i et døgn, så er FV(25.000) sandsynligheden for, at der er højst 25.000 opkald til telefoncentralen.

Fordelingsfunktionen spiller en altdominerende rolle i beskrivelsen af tilfældige fænomener, idet man ud fra fordelingsfunktionen kan beregne sandsynligheden for, at den stokastiske variabel kan antage en værdi, som ligger i en vilkårligt givet mængde af reelle tal. Ifølge den klassiske definition af en stokastisk variabel (P.L. Tjebysjov, ca. 1850) er en stokastisk variabel en reel variabel, som kan antage forskellige værdier med forskellige sandsynligheder, og det er fordelingsfunktionen, som præcist fortæller, med hvilke sandsynligheder en stokastisk variabel kan antage hvilke værdier.

Der findes tre hovedtyper af fordelingsfunktioner: diskrete, absolut kontinuerte og singulære fordelingsfunktioner, og enhver fordelingsfunktion kan splittes op i en diskret, en absolut kontinuert og en singulær del.

Diskrete fordelingsfunktioner

Hvis den stokastiske variabel V højst kan antage endeligt eller tælleligt mange forskellige værdier (fx hele tal, hele positive tal eller tallene 0, 1, 2, ..., n), siges FV at være diskret. Hvis V har en diskret fordelingsfunktion, og pV(y) = P(V = y) er den diskrete tæthedsfunktion for V, kan FV(x) beregnes som summen af pV(y) for yx, dvs. FV(x) = Σy≤xpV(y). De mest almindelige diskrete fordelingsfunktioner er binomialfordelingen, som beskriver antallet af gange, en forsøgsrække (fx møntkast) har givet et bestemt udfald (fx "krone"); den geometriske fordeling, som beskriver ventetiden på en hændelse (fx et alvorligt atomkraftuheld), når tiden måles i hele enheder (fx dage, måneder eller år); og Poissonfordelingen, som beskriver antallet af ankomster til et køsystem i et givet tidsrum (fx ankomster til en kassekø i et supermarked eller opkald til en telefoncentral).

Absolut kontinuerte fordelingsfunktioner

Hvis sandsynligheden for, at den stokastiske variabel V antager værdier mellem a og b, kan udtrykkes som integralet fra a til b af f (t) for alle reelle tal a < b, siges FV at være absolut kontinuert, og funktionen f kaldes tæthedsfunktionen for V. I dette tilfælde kan fordelingsfunktionen udtrykkes som FV(x) lig integralet fra −∞ til x af f (t). De mest almindelige absolut kontinuerte fordelingsfunktioner er normalfordelingen, som oprindelig blev indført som fordelingsfunktion for målefejl, men som siden har vist sig at kunne beskrive en lang række andre tilfældige fænomener; eksponentialfordelingen, som beskriver ventetiden på en hændelse (fx et alvorligt atomkraftuheld), når tiden opfattes som et kontinuert forløb, og gammafordelingen, som beskriver en sum af ventetider på uafhængige hændelser (dvs. en sum af uafhængige eksponentialfordelinger med samme intensitet).

Singulære fordelingsfunktioner

forekommer sjældent i praksis; den mest typiske singulære fordelingsfunktion er Cantor-fordelingen. Se sandsynlighedsregning og statistik.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig