finite element-metoden

Finite element-metoden er en computerbaseret teknisk beregningsmetode til løsning af partielle differential- og integralligninger. Metoden har siden 1952 haft en revolutionerende indflydelse på løsning af mange fysiske og ingeniørmæssige problemer, fx inden for faststofmekanik, varmetransmission, strømningslære samt elasticitets- og plasticitetsteori. Fælles for disse problemer er, at de kræver en feltbeskrivelse: et forskydningsfelt, et temperaturfelt, et magnetfelt eller et strømningsfelt.

Forskningsarbejde udført af M. Turner og R. Clough (1920-2016) i 1952 ved Boeing-flyfabrikkerne vedrørende dynamisk beregning af flyvinger førte direkte mod FEM; dog havde R. Courant i 1940'erne fra en mere direkte matematisk synsvinkel arbejdet med FEM. Metodens udvikling er tidsmæssigt sammenfaldende med computerens. FEM er i praksis ikke anvendelig uden computerfaciliteter, og udviklingen af FEM-programmer har været direkte knyttet til udviklingen i computerhardware. Udviklingen fra 1990'erne vedrører i høj grad menneske-computer-samspillet, dvs. interaktive grafiske værktøjer til formulering af problemet (preprocessing) og interaktive grafiske værktøjer til anskueliggørelse af beregningsresultater (post-processing).

Vigtige begreber for metodens beskrivelse er knudepunkter og elementer. I en gitter- eller rammekonstruktion, fx en højspændingsmast, er knudepunkterne de punkter, hvor stænger eller bjælker mødes, og elementerne er stængerne eller bjælkerne. I dette tilfælde svarer finit element-modellen direkte til den fysiske virkelighed. I et kontinuum, fx et tandhjul, er knudepunkterne i en finit element-model valgte, såvel i antal som i placering. Der er et endeligt antal, og da modellen beskrives ved knudepunkternes frihedsgrader, fx forskydningerne i rummets tre retninger, bliver der totalt et endeligt antal frihedsgrader. Elementerne i en finit element-modellering af et kontinuum er også valgte, og valget er knyttet til de valgte knudepunkter, men ikke dermed entydigt. For todimensionale modeller anvendes ofte trekanter eller firkanter som elementer, og for tredimensionale modeller tilsvarende tetraedre og kasser.

FEM er baseret på en entydig forbindelse mellem feltstørrelserne i et elements knudepunkter og feltstørrelserne et vilkårligt sted i elementet. Matematisk er dette et interpolationsproblem: Er hjørnepunkternes værdier givet, hvad er da værdien i et vilkårligt punkt i elementet? Fra en mere fysisk synsvinkel kan resultaterne udledes ved en antaget feltvariation, fx lineær variation for en trekant med kun knudepunkter i hjørnerne.

En væsentlig del af FEM er principielt ens for selv meget forskelligartede problemer, hvilket er en af grundene til metodens store udbredelse. Mange forskellige elementer er til rådighed, og begrebet isoparametrisk element bør nævnes. Det dækker over elementer, hvis facon beskrives på principielt samme måde som det aktuelle felt, dvs. ved knudepunktsværdier; dette muliggør fx krumme elementer, men nødvendiggør så anvendelse af numerisk integration.

Primært har FEM givet mulighed for beregning af konstruktioner med komplicerede faconer. I samspil med iterations- og/eller inkrementalmetoder løses også teknisk vigtige ulineære problemer, fx inden for faststofmekanik eksemplificeret ved ulineær materialeopførsel og kontaktproblemer. Inkrementalmetoder er karakteriseret ved en stepvis beregning, hvor fx belastninger antages at vokse trinvis. Iterationsmetoder har derimod fastholdte beregningsbetingelser, men i modsætning til direkte metoder bestemmes løsninger ved en gentagen tilstræbt forbedring af resultatet. Til dynamiske problemer anvendes inkrementalmetoder til simulering af transiente problemer, der er karakteriseret ved at problemets parametre ikke kan regnes konstante i tiden, fx er dette gældende ved opstart af maskineri og for indsvingning til mere stationære tilstande.

Computerprogrammer baseret på FEM blev oprindelig udviklet på universiteterne, men ret hurtigt etableredes virksomheder for at distribuere, dokumentere og videreudvikle programmerne. Disse internationale firmaer er baggrunden for den stadig voksende anvendelse af FEM, selv i mindre maskin- og bygningsvirksomheder.