eksponentialfunktion

Eksponentialfunktion. Eksempler på forløb af eksponentialfunktionen y = ax for a = e, 1, 12.

.
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert
.
Licens: Brukerspesifisert

Eksponentialfunktion, matematisk funktion af formen ax, hvor den uafhængige variabel x optræder som eksponent, og a er en positiv konstant kaldet grundtallet. Eksponentialfunktionen er defineret ved

Eksponentialfunktionen kan defineres for et vilkårligt reelt tal x på en sådan måde, at den er en kontinuert funktion.

Der gælder de vigtige regneregler ax+y = axay og (ax)y = axy, hvoraf følger, at a−x = (1/a)x = 1/ax og

for n = 2,3,... .

Den naturlige eksponentialfunktion exp fremkommer, når grundtallet a er lig med tallet e. Der gælder rækkefremstillingen

Den omvendte funktion til ex er den naturlige logaritme ln(x) = loge(x). Ved hjælp af denne kan alle eksponentialfunktioner udtrykkes ved den naturlige eksponentialfunktion, idet der gælder ax = exln(a) for a > 0 og vilkårligt x.

Funktionen f(x) = exp(kx) er løsning til differentialligningen y ′ = ky med begyndelsesbetingelse y(0) = 1. Dermed beskriver f en eksponentiel vækst, hvor væksthastigheden er proportional med den øjeblikkelige størrelse. En eksponentiel vækst f, hvor den øjeblikkelige størrelse fordobles over et fast tidsrum T (fordoblingstiden), er fastlagt ved k = ln(2)/T.

Ved ovenfor viste rækkeudvikling kan eksponentialfunktionen defineres for komplekst x, hvorved den bliver en holomorf funktion, se Eulers formel.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig