betinget sandsynlighed

Betinget sandsynlighed, sandsynligheden for, at en hændelse A indtræffer, når det vides, at hændelsen B er indtruffet. Den betegnes P(A|B), der læses "sandsynligheden for A, givet B", og er givet ved kvotienten P(A∩B)/P(B) - dvs. sandsynligheden for, at både A og B indtræffer, divideret med sandsynligheden for, at B indtræffer.

Ukendskab til betingede sandsynligheder kan føre til forkerte beslutninger. Sandsynlighed defineres, som den værdi en frekvens nærmer sig til, når antallet af iagttagelser bliver meget stort. En betinget sandsynlighed er en sandsynlighed, som er betinget af, at en anden sandsynlighed er til stede.

Ved beregning af betinget sandsynlighed blander man nye informationer med gamle, og opnår dermed bedre beslutningsgrundlag. Betinget sandsynlighed beregnes traditionelt ved hjælp af Bayes' formel, et særtilfælde af Bayes' sætning.

Thomas Bayes (1702-61) var engelsk teolog og matematiker. Formlen er besværlig at arbejde med, men der findes en lettere metode, hvor man ved hælp af frekvenser kan udregne en betinget sandsynlighed.

Bayes' formel, p(A|B)=p(B|A)∙p(A)/p(B), kan omskrives til p(A|B)∙p(B)=p(A)∙p(B|A)=p(A)∙p(B)/(p(A)∙p(B|A)+p(non A)∙p(B|non A)), hvor "non A" refererer til den modsatte hændelse til A, hvis sandsynlighed er 1-p(A).

I stedet for denne noget komplicerede formel, kan man anvende frekvenser. Et eksempel kunne være at bestemme sandsynligheden for, at en mand myrder sin kone, hvis han forud herfor har øvet vold mod hende. FBI Uniform Crime Reports beregnede 1992 i USA, at der forekommer ét mord pr. 2.500 (0,04%) tilfælde af hustruvold, hvilket giver en sandsynlighed for at være uskyldig, der er 1-0,0004=0,9996.

Den relevante sandsynlighed er ikke, hvor mange mænd, som slår deres partner for senere at myrde dem. Den relevante betingede sandsynlighed er i stedet for sandsynligheden for, at en mand myrder sin samlever betinget af, at han forud har øvet vold mod hende, og at hun bliver myrdet.

Hvis én ud af 2.500 kvinder, der er udsat for hustruvold, bliver myrdet om året af samlever eller ægtefælle, svarer det til 40 tilfælde ud af 100.000 (99.960 ikke myrdet). Hertil kommer det antal kvinder udsat for vold, som årligt bliver dræbt af andre end deres partner. Dette tal er beregnet til fem ud af 100.000 kvinder pr. år. Sandsynligheden for, at en voldelig mand har slået sin samlever ihjel, forudsat, at hun bliver myrdet, er således 40/45 (0,888), og sandsynligheden for uskyld er 1-0,888=0,111 (angivet med tre decimalers nøjagtighed).