Peanos aksiomsystem

Peanos aksiomsystem, (efter G. Peano), aksiomatisk karakterisering af de naturlige tal. De fem aksiomer definerer de naturlige tal som en mængde, hvor ethvert element (tal) har en entydig efterfølger, og alle undtagen det første en entydig forgænger. Yderligere må disse krav ikke opfyldes af nogen ægte delmængde af de naturlige tal.

Ud fra et moderne synspunkt er Peanos aksiomsystem utilfredsstillende, fordi det kun kan fungere inden for rammerne af et langt kraftigere, fx mængdeteoretisk, system.

Peano-aritmetik er et bedre svagere system, hvori den elementære talteori kan aksiomatiseres. Den er baseret på et formelt sprog omfattende symbolerne 0, 1, + og ∙ samt fx aksiomerne 0 ≠ x+1 x+1 = y+1 ⇒ x = y 0+x = xx+(y+1) = (x+y)+1 0∙x = 0 x∙(y+1) = xy+x foruden et induktionsskema-aksiom, der for alle udsagn A(x) i sproget indeholder A(0)∧∀x(A(x) ⇒ A(x+1)) ⇒ ∀x A(x). Peano-aritmetikken er ækvivalent med en mængdeteori, hvori uendelighedsaksiomet (se mængdelære) erstattes af et aksiom, der siger, at alle mængder er endelige.

Peanos aksiomsystem

- i moderne formulering

Naturligt tal og efterfølger tages som primitive (udefinerede) begreber.

Efterfølgeren til et naturligt tal x kaldes x +1.

1. 1 er et naturligt tal
2. Hvis x er et naturligt tal, er x+1 også et naturligt tal
3. 1 er ikke efterfølger til noget naturligt tal
4. Hvis x, y er naturlige tal og x+1 = y+1, er x = y
5. Hvis en mængde S af naturlige tal indeholder 1 og opfylder betingelsen, at hvis x tilhører S, da tilhører x+1 også S, så indeholder S alle naturlige tal

Det femte aksiom kaldes også induktionsprincippet.

G. Peano formulerede i Arithmetices principia nova methodo exposita (1889) aksiomerne for mængden N0 = {0,1,2,...} (dvs. med 1 erstattet af 0 i aksiom 1 og 3). Hans egen rækkefølge af aksiomerne var 1,2,5,4,3 suppleret med et aksiom 0: De naturlige tal udgør en mængde. R. Dedekind havde året forinden formuleret et lignende aksiomsystem.

Kommentarer

Din kommentar publiceres her. Redaktionen svarer, når den kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig