Eulertal (\(En\)) er tal indført i 1736 og igen mere systematisk i 1755. De indgår i flere summer, fx potensrækken \[\frac{1}{\cosh (x)} = \sum_{n=0}^\infty\frac{E_n}{n!}x^n\text{, hvor } |x| < \frac{\pi}{2},\]

Faktaboks

og bruges i differensregning. Eulertallene med ulige indices er alle 0, og de øvrige er givet rekursivt ved formlen \[E_{2n}=-{2n \choose 2}E_{2n-2}-{2n \choose 4}E_{2n-4}-\dots – {2n \choose 2n}E_0 \text{, hvor } n > 1\]

hvori binomialkoefficienterne indgår, og E0 = 1. De følgende tal er E2 = -1, E4 = 5, E6 = -61. Eulertallene er forbundet med Eulerpolynomierne En(x), der er de entydige polynomiumsløsninger til differensligningen f (x+1)+f (x) = 2xn. Der gælder En = 2nEn(1/2). Eulerpolynomierne optræder i formlen for de alternerende potenssummer, nemlig som \[\sum_{k=1}^m(-1)^{m-k}k^n = \frac{1}{2}(E_n(m+1)+(-1)^mE_n(0))\]

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig